Permutações, Combinações e Arranjos: Explicado com Exemplos Simples

Quando se fala em contar possibilidades — seja para códigos, equipas, senhas ou combinações — entramos no mundo das permutações, combinações e arranjos. Neste artigo, explicamos de forma clara cada conceito, com fórmulas e exemplos práticos que podes usar para relembrar ou ensinar.

🧠 Conceitos Fundamentais

Antes de mergulhar nos exemplos, convém esclarecer a diferença entre os três conceitos:

✅ Permutação

👉 Quando usar?

Quando queremos organizar todos os elementos disponíveis e a ordem importa.

🔹 Fórmula:

$$ P(n) = n! $$

📌 Exemplo:

Problema: De quantas formas diferentes podemos organizar 4 livros diferentes numa prateleira?
Solução:
$$ P(4) = 4! = 24\ \text{maneiras} $$

✅ Combinação

👉 Quando usar?

Quando queremos escolher um subconjunto de elementos, sem importar a ordem.

🔹 Fórmula:

$$ C(n, r) = \frac{n!}{r!(n - r)!} $$

📌 Exemplo:

Problema: De um grupo de 6 amigos, de quantas formas podemos escolher 3 para formar uma equipa?
Solução:
$$ C(6, 3) = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = 20\ \text{combinações} $$

✅ Arranjo (sem repetição)

👉 Quando usar?

Quando queremos escolher e organizar apenas alguns elementos e não há repetição.

🔹 Fórmula:

$$ A(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!} $$

📌 Exemplo:

Problema: Quantos códigos de 3 dígitos diferentes podemos formar com os números de 1 a 5?
Solução:
$$ A(5, 3) = \frac{5!}{(5 - 3)!} = 60\ \text{arranjos} $$

✅ Arranjo com repetição

👉 Quando usar?

Quando queremos organizar um número de elementos e podemos repetir os mesmos elementos.

🔹 Fórmula:

$$ A_{rep}(n, r) = n^r $$

📌 Exemplo:

Problema: Quantos códigos de 4 dígitos podemos formar com os números de 0 a 9, permitindo repetições?
Solução:
$$ A_{rep}(10, 4) = 10^4 = 10\ 000\ \text{códigos} $$

🧾 Conclusão

Saber distinguir entre permutações, combinações e arranjos é essencial para resolver problemas de contagem com precisão. A regra de ouro:

• Se a ordem importa → pensa em permutações ou arranjos.
• Se não importa a ordem → usa combinações.
• Se podes repetir elementos → aplica as fórmulas com repetição.

Estes conceitos são a base da combinatória e aparecem frequentemente em probabilidade, programação, criptografia e problemas do dia a dia.

📌 Dica final: sempre que estiveres em dúvida, pergunta-te:

"Importa a ordem? Posso repetir elementos?"
Essas respostas guiam-te para a fórmula certa.

Bónus Ferramenta para ajudar

Quer saber como fiz este post com as formulas matemáticas? A resposta é usar LaTeX, pode saber mais sobre o latex, e quando estiver preparado para criar as suas primeiras fórmulas utiliza o nosso gerador online de formulas LaTeX grátis do slashlogs, onde pode escrever em português a fórmula que pretende e obter o LaTeX da fórmula matemática que precisa.